Mettete in planetaria (o in una ciotola, se lavorate a mano) tutti gli ingredienti per fare l'impasto. Lavoratelo fino a quando non avrete ottenuto un bel panetto morbido ed elastico (potrebbe essere necessario aggiungere poca acqua in più). Mettete l'impasto in una ciotola e copritelo, quindi mettete a lievitare in un luogo tiepido per un paio d'ore o fino al raddoppio.
Nel frattempo riunite in una ciotola il quark, la scamorza grattugiata (con una grattugia a fori grossi), un pizzico di sale, pepe, timo e lo za'atar. Mescolate bene e regolate, se necessario, con un pizzico di sale.
Riprendete la pasta lievitata e dividetela in 4 parti. Formate delle palline e fatele riposare per una decina di minuti, così che il glutine si rilassi e sarà poi più facile stenderle.
Stendete le palline di pasta fino a ottenere degli ovali larghi una ventina di cm e lunghi il doppio. Mettete gli ovali su una teglia (o due) rivestita di carta forno. Arrotolate i bordi per ottenere una sorta di "cornicione" che dovrà poi contenere il formaggio. Chiudete le estremità degli ovali, andando così a a dare la classica forma "a barchetta".
Suddividete il ripieno a base di formaggio tra i 4 khachapuri, distribuendolo con il dorso di un cucchiaio. Fate riposare coperto per una ventina di minuti. Nel frattempo preriscaldate il forno statico a 200 gradi.
Spennellate i khachapuri con l'uovo. Se volete, cospargeteli con semi di sesamo o papavero.
Infornate i khachapuri per 15 minuti. Trascorso questo tempo tirateli fuori, formate in ciascuno un piccolo incavo al centro del ripieno di formaggio con il dorso di un cucchiaio e metteteci l'uovo (che avrete prima sgusciato in una ciotolina).
Rimettete in forno per 7 minuti. Non cuoceteli di più o il tuorlo si rapprenderà troppo. Se dopo 7 minuti l'uovo dovesse sembrarvi ancora morbido, niente paura. In un paio di minuti si rapprenderà.
Fate riposare i khachapuri per 5 minuti prima di servire. Completateli con qualche rametto di timo, un pizzico di sale, ancora un pizzico di za'atar, se volete e un pizzico di peperoncino.
Divertitevi a creare la vostra combinazione di formaggi preferita. Non ci sono vere e proprie regole, a meno che non troviate il formaggio originale con cui viene solitamente preparato questo pane.
Stessa cosa dicasi per le erbe. Qui l'influenza di Ottolenghi si sente, e a me piace. Ma lo za'atar non è assolutamente tradizionale e si può tranquillamente sostituire con del normalissimo timo, ad esempio.